Question

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑為的圓是橢圓C的“伴橢圓” ，若橢圓C的一個焦點為,其短軸上的一個端點到距離為；

（1）、求橢圓C的方程及其“伴橢圓”的方程；

（2）、若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的“伴橢圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長。

（3）、若點P是橢圓C“伴橢圓”上一動點，過點P作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，求證：。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）因為，所以……………………………………………2分

所以橢圓的方程為，伴隨圓的方程為.………………4分

（2）設直線的方程，由得 

由得…………………………6分

圓心到直線的距離為 ，所以………………………………8分

（3）①、當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

當方程為時，此時與伴隨圓交于點

此時經過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是(或，

即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直.…………………………10分

 

②、當都有斜率時，設點其中，

設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

由，消去得到，

即，……………………12分

，

經過化簡得到：，

因為，所以有，…………………14分

設的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，

所以滿足方程，

因而，即垂直.……………………………………………………16分

 

【解析】略