Question

在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，點E在棱CC₁上，點F是棱C₁D₁的中點．
（I）若點E是棱CC₁的中點，求證：EF∥平面A₁BD；
（II）試確定點E的位置，使得A₁-BD-E為直二面角，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證EF∥平面A₁BD，關鍵在平面A₁BD內找一直線與EF平行，連接CD₁，根據點E、F分別是棱CC₁、C₁D₁的中點則EF∥D₁C，從而EF∥A₁B；
（Ⅱ）連接AC交BD于點G，連接A₁G、EG，易證∠A₁GE為直二面角A₁-BD-E的平面角，再根據Rt△A₁AG∽Rt△ECG，求出EC的長即可．

解答：解：（I）證明：（1）連接CD₁∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形
∴A₁D₁∥AD，AD∥BC，A₁D₁=AD，AD=BC；
∴A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，∴四邊形A₁BCD₁為平行四邊形；
∴A₁B∥D₁C（3分）
∵點E、F分別是棱CC₁、C₁D₁的中點；
∴EF∥D₁C
又∴EF∥A₁B又∵A₁B?平面A₁DB，EF?面A₁DB；∴EF∥平面A₁BD（6分）
（II）連接AC交BD于點G，連接A₁G，EG
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，AD=AB，BC=CD
∵底面ABCD是菱形，∴點G為BD中點，∴A₁G⊥BD，EG⊥BD
∴∠A₁GE為直二面角A₁-BD-E的平面角，∴∠A₁GE=90°（3分）
在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，∴∠ABC=120°，
∴AC=

AB2+BC2-2AB•BC•cos1202

=2

8

∴AG=GC=

8

（10分）
在面ACC₁A₁中，△AGA₁，△GCE為直角三角形
∵∠A₁GE=90°∴∠EGC+∠A₁GA=90°，
∴∠EGC=∠AA₁G，
∴Rt△A₁AG∽Rt△ECG（12分）
∴

EC

CG

=

AG

AA1

?EC=

3

4

所以當EC=

3

4

時，A₁-BD-E為直二面角．（15分）

點評：本小題主要考查直線與平面平行，以及二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．