Question

設橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的兩個焦點分別為F₁，F₂，若點P橢圓上，且cos∠F1PF2=

1

2

，則|PF₁|•|PF₂|=

4

3

．

Answer 1

分析：先設出|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用橢圓的定義求得n+m的值，平方后求得mn和m²+n²的關系，代入△F₁PF₂的余弦定理中求得mn的值．

解答：解：橢圓

x2

25

+

y2

9

=1可知，a=5，b=3，c=4，
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由橢圓的定義可知m+n=2a=10，
∴m²+n²+2nm=100，
∴m²+n²=100-2nm
由余弦定理可知cos60°=

m2+n2-4c2

2mn

=

100-2mn-96

2mn

=

1

2

，求得mn=

4

3

．
即|PF₁|•|PF₂|=

4

3

．
故答案為：

4

3

．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，橢圓的簡單性質和橢圓的定義．考查了考生對所學知識的綜合運用．