Question

16．（Ι）已知：復數z₁滿足（z₁-2）（1+i）=1-i（i為虛數單位），復數z₂的虛部為2，z₁•z₂是實數，求z₂．
（Ⅱ）已知：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線方程是y=$\sqrt{3}x$，它的一個焦點在拋物線y²=24x的準線上，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （I）利用復數的運算法則及其有關概念即可得出．
（II）利用雙曲線與拋物線的標準方程及其性質即可得出．

解答 （Ι）解：（z₁-2）（1+i）=1-i⇒z₁=2-i…（2分）
設z₂=a+2i，a∈R，則z₁z₂=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i，…（4分）
∵z₁z₂∈R，∴z₂=4+2i…（6分）
（Ⅱ）依題意知$\left\{\begin{array}{l}\frac{b}{a}=\sqrt{3}\\ c=6\\{c^2}={a^2}+{b^2}\end{array}\right.⇒{a^2}=9，{b^2}=27$，-----------（5分）
所以雙曲線的方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$-----------------（6分）

點評 本題考查了數的運算法則及其有關概念、雙曲線與拋物線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．