Question

（2013•安徽）已知直線y=a交拋物線y=x²于A，B兩點，若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：如圖所示，可知A(-

a

，a)，B(

a

，a)，設C（m，m²），由該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，可得

AC

•

BC

=0．即可得到a的取值范圍．

解答：解：如圖所示，可知A(-

a

，a)，B(

a

，a)，
設C（m，m²），

AC

=(m+

a

，m2-a)，

BC

=(m-

a

，m2-a)．
∵該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，
∴

AC

•

BC

=(m+

a

)(m-

a

)+(m2-a)2=0．
化為m²-a+（m²-a）²=0．
∵m≠

a

，∴m²=a-1≥0，解得a≥1．
∴a 的取值范圍為[1，+∞）．
故答案為[1，+∞）．

點評：本題考查了如何表示拋物線上點的坐標、垂直于數量積得關系等基礎知識，考查了推理能力和計算能力．