Question

已知A，B兩點在拋物線C：x²＝4y上，點M(0,4)滿足＝λ.

(1)求證：；

(2)設拋物線C過A、B兩點的切線交于點N.

(ⅰ)求證：點N在一條定直線上；    

(ⅱ)設4≤λ≤9，求直線MN在x軸上截距的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：∵＝0，∴.

(2)(ⅰ)點N(，－4)，所以點N在定直線y＝－4上． (ⅱ) [－，－]∪[，]．

【解析】

試題分析：設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

l_AB：y＝kx＋4與x²＝4y聯立得x²－4kx－16＝0，        

Δ＝(－4k)²－4(－16)＝16k²＋64>0，

x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，                             2分

(1)證明：∵＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(kx₁＋4)(kx₂＋4)

＝(1＋k²)x₁x₂＋4k(x₁＋x₂)＋16

＝(1＋k²)(－16)＋4k(4k)＋16＝0

∴.                                          4分

(2)(ⅰ)證明：過點A的切線：

y＝x₁(x－x₁)＋y₁＝x₁x－x₁²，　　①

過點B的切線：y＝x₂x－x₂²，　　②                          6分

聯立①②得點N(，－4)，所以點N在定直線y＝－4上．     8分

(ⅱ)∵＝λ，

∴(x₁，y₁－4)＝λ(－x_2,4－y₂)，

聯立x₁＝－λx₂，x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，

可得k²＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，                 11分

∴≤k²≤.

直線MN：y＝x＋4在x軸上的截距為k.

∴直線MN在x軸上截距的取值范圍是[－，－]∪[，]．       14分

考點：本題考查了向量的運用及直線與拋物線的位置關系

點評：熟練掌握向量的坐標運算，靈活運用直線的特征是解決此類問題的關鍵，屬常考題型