Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E，F分別是AB，PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若PA=6，AD=10，CD=15，求二面角P-CE-A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC中點M，連ME，MF．利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質、線面平行的判定定理即可得出；
（II）延長DA，CE交于N．過A作AH⊥CN于H，連PH．利用PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CN．于是CN⊥平面PHA．又PH?平面PHA，CN⊥PH．因此∠PHA為二面角P-EC-A的平面角．在Rt△PHA中求出即可．

解答：（Ⅰ）證明：取PC中點M，連ME，MF．
∵FM∥CD，FM=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∴AE∥FM，且AE=FM，即四邊形AFME是平行四邊形．
∴AF∥EM．
∵AF?平面PCE，∴AF∥平面PCE．
（Ⅱ）解：延長DA，CE交于N．過A作AH⊥CN于H，連PH．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CN．∴CN⊥平面PHA．
又PH?平面PHA，∴CN⊥PH．
∴∠PHA為二面角P-EC-A的平面角．
∵AD=10，CD=15，∴CN=25，即EN=

25

2

．
又PA=6，∴AH=

AN•AE

EN

=

10× 15 2

25 2

=6．
∴tan∠PHA=

PH

AH

=

6

6

=1．
∴二面角P-EC-A的大小為

π

4

．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理和平行四邊形的性質、線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質定理、二面角的定義及其作法等是解題的關鍵．