Question

已知等差數列{a_n}的首項是二項式(

x

-

2

x

)5展開式的常數項，公差為二項式展開式的各項系數和，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：在二項式的展開式的通項公式中，令x的冪指數等于零，求得r的值，可得常數項，即等差數列的首項．又二項式展開式的各項系數和即為x=1時二項式的值，
由此求得公差的值，可得數列{a_n}的通項公式．

解答：解：由于二項式(

x

-

2

x

)5展開式的通項為：Tr+1=

C

r 5

(

x

)5-r•(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 5

x3-r．
令3-r=0得r=3，∴常數項為T4=(-2)3

C

3 5

=-160，即等差數列的首項為a₁=-160．…5′
又二項式展開式的各項系數和即為x=1時二項式的值，∴d=-1．…8′
故數列{a_n}的通項公式為a_n=-160+（n-1）×（-1）=-n-159．…12′．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式各項系數和的求法，等差數列的通項公式，屬于中檔題．