Question

在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為6的等邊三角形，PA=PB=PC=4

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，則點P到平面ABC的距離為

 

；若P，A，B，C四點在某個球面上，則球的半徑為

 

．

Answer 1

分析：三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為6的等邊三角形，PA=PB=PC=4

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，可得到此三棱錐是正三棱錐其在底面的投影是底面三角形的中心，不妨令此中心點為M，在直角三角形AMP中用勾股定理求點P到平面ABC的距離PM；若P，A，B，C四點在某個球面上，則可令球心為O，可得出OM=PM-r，由于三棱錐O-ABC仍是一正三棱錐，故可在直角三角形OMA中用勾股定理建立關于球的半徑r的方程求r．

解答：解：（1）由題意三棱錐P-ABC是正三棱錐，作PM⊥面ABC于M，則M是頂點P在底面上的投影
   由正三棱錐的性質知M是底面的中心，
∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，
∴MA=2

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 又PA=PB=PC=4

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，在直角三角形AMP中，PM=

PA2-MA2

=6
 故點P到平面ABC的距離為 6
（2）若P，A，B，C四點在某個球面上，由（1）知，此球心必在線段PM上，令球心為O，可知PO=r，則OM=6-r
   由于三棱錐O-ABC是一個正三棱錐，且側棱長為半徑r，
   又由（1）MA=2

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  在直角三角形OMA中有OA²=OM²+MA² 即r²=（6-r）²+12
  由此解得  r=4
故答案為  6；      4

點評：本題考點是點、線、面間的距離，考查根據三棱錐的幾何特征求線段的長度，本題作用是訓練空間想象能力，只有對相關的點線面間的位置關系比較熟悉才可以找到求解的方向，學習時應注意培養空間立體感覺．