Question

設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱長都等于2，M是AB的中點．
（1）求異面直線A₁M與BC₁所成的角；（2）求四棱錐M-ACC₁A₁的體積．

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁中點N，連接BN、C₁N，則BN∥A₁M，∠NBC₁就是異面直線A₁M與BC₁所成的角，由余弦定理求出
cos∠NBC₁的值，即可得到異面直線A₁M與BC₁所成的角大小．
（2）作MP⊥AC于P，則MP⊥平面AA1C1C ， MP=

3

2

，利用棱錐的體積求得結果．

解答：（1）取A₁B₁中點N，連接BN、C₁N，則BN∥A₁M，∠NBC₁就是異面直線A₁M與BC₁所成的角．
因為BN=

5

 ， BC1=2

2

 ， NC1=

3

，
由余弦定理可得 3=5+8-4

10

 cos∠NBC₁ ，∴cos∠NBC₁=

10

4

，
所以異面直線A₁M與BC₁所成的角大小為arccos

10

4

．
（2）作MP⊥AC于P，則MP⊥平面AA1C1C ， MP=

3

2

．
故四棱錐M-ACC₁A₁的體積V=

1

3

•4•

3

2

=

2 3

3

．

點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，求棱錐的體積，找出異面直線所成的角，是解題的關鍵．