Question

【題目】設函數，

（1）若，且在（0，+∞）為增函數，求的取值范圍；

（2）設，若存在，使得，求證：且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1）由在（0,+∞）為增函數可得上恒成立，然后對的符號分類討論可得結果．（2）結合題意先排除時不成立，從而得．由得，設，并結合（1）知，故得，從而，故轉化為證成立，變形后通過令構造新函數，可證得，即證得不等式成立．

詳解：（1）當時，.

由題意得對任意恒成立.

當時，不等式顯然成立；

當時，可得恒成立，

所以，解得；

當時，可得恒成立，

所以，解得．

綜上可得．

∴實數的取值范圍是．

（2）若，則有 ，

∴在單增，與存在滿足矛盾.

∴.

由，得,

∴．

不妨設，

由（1）知在單調遞增，

∴，

即.

∴．

又，

∴．

下面證明，

令，則．

于是等價于證明，即證．

設，

則在恒成立．

∴在單調遞減，

∴，

從而得證．

于是，即不等式成立．