Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，D₁D=2，點P在棱CC₁上，且∠A1PB=

π

2

．
（1）求PC的長；
（2）求鈍二面角A-A₁B-P的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用∠A1PB=

π

2

，可得

A1P

•

BP

=0，由此可求PC的長；
（2）求出平面AA₁B的一個法向量為

m

=

DA

=(1，0，0)，平面A₁BP的一個法向量為

n

=（1，0，-1），利用向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：解：（1）如圖，以點D為原點O，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，2），
設P（0，1，λ），其中λ∈[0，2]，
因為∠A1PB=

π

2

，所以

A1P

•

BP

=0，
即（-1，1，λ-2）•（-1，0，λ）=0，得λ=1，
此時P（0，1，1），即有PC=1；
（2）平面AA₁B的一個法向量為

m

=

DA

=(1，0，0)，
設平面A₁BP的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • A1P =0 n • BP =0

即

-x+y-z=0 -x+z=0

不妨取x=1，則y=2，z=1，即

n

=（1，2，1），
所以cos＜

m

，

n

＞=

1

6

=

6

6

，
所以，鈍二面角A-A₁B-P的大小為π-arccos

6

6

．

點評：本題主要考查空間向量的應用，考查向量的夾角公式，考查運算求解能力，屬于中檔題．