Question

【題目】已知函數，若在處的切線為．

（Ⅰ）求實數，的值；

（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設其中，證明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求出，，建立方程，求解即可得到結論；

（Ⅱ）結合（Ⅰ）中的結論，將問題轉化為對任意恒成立，令

，而是偶函數，只需時，恒成立，注意，只需在單調遞增即可，若存在單調遞減，則不恒成立，轉化為研究在單調性，即可求解；

（Ⅲ）由，利用（Ⅱ）的結論，可得，．進而得到

，將分別用，代入得到個不等式，相加即可證明結論.

（Ⅰ）由，得；

由，得．

根據題意可得，解得；

（Ⅱ）解法一：由不等式對任意恒成立知恒成立，令，

顯然為偶函數，故當時，恒成立．

，令，

，令，

顯然為上的增函數，故，

即在上單調遞增，．

①當，即時，，

則有在上單調遞增，故，

則在上單調遞增，故，符合題意；

②當，即時，因為，

故存在，使得，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，，

故在上單謂遞減，故與矛盾．

綜上，．

解法二：由不等式對任意恒成立，

知恒成立，當時，不等式成立；

當時，，令，

由于為偶函數，故只需考慮的情況即可．

當時，．

令，，

令，，

當時，，故在上單調遞增，

故．

因此當時，，故在上單調遞增，

即有，故，

所以在上單調遞增，由洛必達法則有，故．

（Ⅲ）解法一：

，

由（Ⅱ），當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立．故，當且僅當時等號成立．

因此有，

，

以上個式子相加得

．

解法二：由（Ⅱ）知，

當且僅當時等號同時成立．

故，

，

以上個式子相加得

．