Question

已知f（x）=x³+3ax²+3bx（a，b∈R）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，則f（x₂）的最大值與最小值之和為

-

21

2

．

Answer 1

分析：根據極值的意義可知，極值點x₁、x₂是導函數等于零的兩個根，根據根的分布建立不等關系，畫出滿足條件的區域即可，先用消元法消去參數b，利用參數c表示出f（x₂）的值域，再利用參數c的范圍求出f（x₂）的范圍即可．

解答：解：f′（x）=3x²+6bx+3c，
依題意知，方程f′（x）=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，
等價于f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．
由此得b，c滿足的約束條件為

c≥2b-1 c≤0 c≤-2b-1 c≥-4b-4

，
滿足這些條件的點（b，c）的區域為圖中陰影部分．
由題設知f'（x₂）=3x₂²+6bx₂+3c=0，
則bx₂=-

1

2

x22-

1

2

c，
故f（x₂）=x23+3bx22+3cx2=-

1

2

x23+

3

2

cx2，
由于x₂∈[1，2]，而c≤0，則f（x₂）在[1，2]上遞減，
故-4+3c≤f（x₂）≤-

1

2

+

3

2

c．
又-2≤c≤0，
所以-10≤f（x₂）≤-

1

2

，
f（x₂）的最大值與最小值之和為-

21

2

，
故答案為：-

21

2

．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區域和不等式的證明．