Question

已知函數 ，a∈R．
（Ⅰ）當 a=1時，求函數 f（x）的最小值；
（Ⅱ）當a＜0時，討論函數 f（x）的單調性；
（Ⅲ）是否存在實數a，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有恒成立，若存在求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
由，
當a=1時，，
．
∴當x∈（0，2）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數；
當x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）為增函數．
∴f（x）在x=2時取得最小值，其最小值為f（2）=-2ln2．
（Ⅱ）∵，
∴（1）當-2＜a＜0時，若x∈（0，-a），f'（x）＞0，f（x）為增函數；
若x∈（-a，2），f'（x）＜0，f（x）為減函數；
若x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）為增函數．
（2）當a=-2時，在（0，+∞）上f^′（x）≥0，f（x）為增函數；
（3）當a＜-2時，若x∈（0，2），f'（x）＞0，f（x）為增函數；
若x∈（2，-a），f'（x）＜0，f（x）為減函數；
若x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）為增函數．
（Ⅲ）假設存在實數a使得對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有恒成立，
不妨設0＜x₁＜x₂，只要，即：f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁．
令g（x）=f（x）-ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數即可．
又函數．
考查函數
要使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要-1-2a≥0，即a，
故存在實數a，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有恒成立．
分析：（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求導后解出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，判出在各區間段內的單調性，從而的導函數的最小值；
（Ⅱ）求出函數的導函數，根據a的不同取值對函數定義域分段，由函數導函數的符號判斷原函數在各區間段內的單調性；
（Ⅲ）在假設存在實數a使得對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有恒成立的前提下，把問題轉化為（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，然后構造函數g（x）=f（x）-ax，利用導函數求出使函數g（x）在（0，+∞）上為增函數的a的取值范圍．
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了導數在最大值最小值中的應用，考查了數學轉化思想和分類討論的數學思想方法，訓練了利用構造函數法求參數的取值范圍，屬難題．