Question

如圖所示，球O的半徑為2，AC是球的直徑，AB⊥BC，球O的截面BDC把球面面積分成3∶1的兩部分，BC是截面圓的直徑，D是底面圓周上的一點(diǎn)，且滿足、的弧長之比為1∶2.

（1）證明平面ABD⊥平面ADC；

（2）求異面直線AC和BD所成的角.

Answer 1

（1）證明:設(shè)截面圓圓心為O₁，則OO₁⊥BC于O₁，AB⊥BC，且A、B、C、O、O₁共面，

∴AB∥OO₁.∵OO₁⊥平面BCD，

∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥DC.又BD⊥DC,

∴DC⊥平面ABD.

∵DC平面ADC，

∴平面ABD⊥平面ADC.

（2）解:在截面圓O₁中，作CEBD，由平面幾何知識，E在圓O₁的圓周上，連結(jié)EA、BE，同（1）可證CE⊥AE，

易知AB=2OO₁=2，BC=.

∵與的弧長之比為1∶2，

∴BD=CE=,DC=BE=3.在Rt△ABE中，AE=，

在Rt△AEC 中，tan∠ACE=,

∴所求角為arctan.