Question

設函數f（x）=|2x-4|+1，不等式f（x）≤ax的解集非空，則a的取值范圍（　　）

• A．(-∞，-2)∪[

  1

  2

  ，+∞)
• B．（-∞，2）
• C．[

  1

  2

  ，+∞)
• D．(-∞，2)∪[

  1

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：根據絕對值的意義化簡，可得當x≤2時f（x）≤ax轉化為（a+2）x≥5；當x＞2時f（x）≤ax轉化為（a-2）x≥-3．分別在這兩種情況下根據a的取值解關于x的不等式，討論不等式的解集是否為空集，從而得到實數a的取值范圍．最后取這兩種情況下a的取值范圍的并集，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答：解：①當x≤2時，f（x）=|2x-4|+1=5-2x，
∴不等式f（x）≤ax，
即5-2x≤ax，即（a+2）x≥5
（i）當a=-2時，不等式變為0≥5，解集為空集，不符合題意；
（ii）當a＜-2時，不等式變為x≤

5

a+2

，不等式的解集一定非空，符合題意；
（iii）當a＞-2時，不等式變為x≥

5

a+2

，
可得當

5

a+2

≤2時不等式的解集非空，
解不等式

5

a+2

≤2得a≥

1

2

．
此時a∈(-∞，-2)∪[

1

2

，+∞)；
②當x＞2時，f（x）=|2x-4|+1=2x-3，
∴不等式f（x）≤ax即2x-3≤ax，
即（a-2）x≥-3，
（i）當a=2時，不等式變為0≥-3，解集非空，符合題意；
（ii）當a＜2時，不等式變為x≤

3

2-a

，可得當

3

2-a

＞2時不等式的解集非空，
解不等式

3

2-a

＞2，得

1

2

＜a＜2；
（iii）當a＞2時，不等式變為x≥

3

2-a

，不等式的解集一定非空，符合題意．
此時a∈（

1

2

，+∞）．
綜上所述，可得滿足不等式f（x）≤ax的解集非空的a的取值范圍為(-∞，-2)∪[

1

2

，+∞)．
故選：A

點評：本題給出含有絕對值的函數f（x），當關于x的不等式f（x）≤ax解集非空時，討論參數a的范圍．著重考查了絕對值的意義、不等式的解法等知識，考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．