Question

如圖所示，在△DEM中，

DE

⊥

EM

，

OD

=（0，-8），N在y軸上，且DN=

1

2

（DE+DM），點E在x軸上移動．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過點F（0，1）作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，l₁與點M的軌跡交于點A、B，l₂與點M的軌跡交于點C、D，求

AC

•

DB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y），E（a，0），則D（0，-8），N（

a+x

2

，y），利用

DE

⊥

EM

，N在y軸上，化簡可得點F的軌跡方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直線l₁，l₂的方程分別與拋物線方程聯立，消去x可得，利用韋達定理，結合

AC

•

DB

=(

AF

+

FC

)•(

DF

+

FB

)，利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），E（a，0），則D（0，-8），N（

a+x

2

，y）
∵

DE

⊥

EM

，N在y軸上，
∴（-a，-8）•（x-a，y）=-a（x-a）-8y=0且

a+x

2

=0
∴2x²-8y=0，所以點F的軌跡方程為x²=4y（x≠0）…（6分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
直線l₁的方程為：y=kx+1（k≠0），則直線l₂的方程為y=-

1

k

x+1
由y=kx+1與拋物線方程聯立，消去x可得：y²-（4k²+2）y+1=0，則y₁+y₂=4k²+2，y₁y₂=1
同理可得：y₃+y₄=

4

k2

+2，y₃y₄=1
∴

AC

•

DB

=(

AF

+

FC

)•(

DF

+

FB

)=y₁y₂+y₃y₄+（y₁+y₂）+（y₃+y₄）+2=4（k²+

1

k2

）+4≥12，當且僅當k=±1時，取等號．
∴

AC

•

DB

的最小值為12．    …（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線位置關系，考查向量知識的運用，考查基本不等式，聯立方程，正確運用向量知識是關鍵．