Question

已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中點．

(1)證明：平面PAD⊥平面PCD；

(2)求AC與PB所成角的余弦值；

(3)求二面角A－CM－B的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵⊥底面， 　　∴⊥ 　　又∠ 　　∴⊥ 　　而平面，平面， 　　且 　　∴⊥平面，　2分 　　又∥ 　　∴⊥平面，　3分 　　又平面， 　　∴平面⊥平面．　4分 　　(2)由(1)知可以為原點，建立如圖空間直角坐標系， 　　∵，是的中點， 　　∴，　5分 　　∴　6分 　　∴， 　　∴與所成角的余弦值為．　8分 　　(3)∵ 　　記平面的法向量為 　　則即，令則， 　　∴　9分 　　同理可得平面的法向量為　10分 　　∴　11分 　　又易知二面角的平面角為鈍角， 　　∴二面角的余弦值為　12分