Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證CD⊥平面A₁ABB₁，可先證平面ABC⊥平面A₁ABB₁，CD⊥AB，面ABC∩面A₁ABB₁=AB，滿足根據面面垂直的性質；
（Ⅱ）欲證AC₁∥平面CDB₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AC₁與平面CDB₁內一直線平行，連接BC₁，設BC₁與B₁C的交點為E，連接DE．根據中位線可知DE∥AC₁，DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，滿足定理所需條件．
解答：（Ⅰ）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面A₁ABB₁．
∵AC=BC，點D是AB的中點，
∴CD⊥AB，面ABC∩面A₁ABB₁=AB
∴CD⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）證明：連接BC₁，設BC₁與B₁C的交點為E，連接DE．
∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，
∴DE∥AC₁．∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．