Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+1（x∈R），a，b∈R．函數f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線方程為y=x+4．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）若函數f（x）在區間(k，k+

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)上是單調函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出導函數，令導函數在1處的值為1，函數經過（1，f（1）），列出方程組求出a，b的值，得到函數的解析式．
（Ⅱ）求出函數的導數，通過導數為0，求出函數的極值點，求出函數的單調區間，推出k的范圍即可．

解答：解：（I）函數f（x）=x³+ax²+bx+1（x∈R），a，b∈R．函數f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線方程為y=x+4．
所以f′（x）=3x²+2ax+b，所以f′（1）=3+2a+b=1…①，函數經過（1，f（1）），即：5=1+a+b+1…②；
解①②得：a=-5，b=8；
所以函數的解析式為：f（x）=x³-5x²+8x+1．
（Ⅱ）由（1）可知f′（x）=3x²-10x+8，令3x²-10x+8=0，即x=2，x=

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，當x＜

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時函數是增函數，

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≤x≤2時函數是減函數，x＞2時，函數是增函數，函數f（x）在區間(k，k+

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)上是單調函數，
所以k≤

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或k=

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或k≥2時，滿足題意．

點評：本題是中檔題，考查函數的導數的應用，函數的切線方程的應用，函數的單調性與單調區間的求法，考查計算能力，轉化思想．常考題型．