Question

已知函數f（x）=log₄（ax²+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的單調區間；
（2）是否存在實數a，使f（x）的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據f（1）=1代入函數表達式，解出a=-1，再代入原函數得f（x）=log₄（-x²+2x+3），求出函數的定義域后，討論真數對應的二次函數在函數定義域內的單調性，即可得函數f（x）的單調區間；
（2）先假設存在實數a，使f（x）的最小值為0，根據函數表達式可得真數t=ax²+2x+3≥1恒成立，且真數t的最小值恰好是1，再結合二次函數t=ax²+2x+3的性質，可列出式子：

a＞0 f(- 1 a ) =0

，由此解出a=

1

2

，從而得到存在a的值，使f（x）的最小值為0．

解答：解：（1）∵f（x）=log₄（ax²+2x+3）且f（1）=1，
∴log₄（a•1²+2×1+3）=1⇒a+5=4⇒a=-1
可得函數f（x）=log₄（-x²+2x+3）
∵真數為-x²+2x+3＞0⇒-1＜x＜3
∴函數定義域為（-1，3）
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
可得：當x∈（-1，1）時，t為關于x的增函數；
當x∈（1，3）時，t為關于x的減函數．
∵底數為4＞1
∴函數f（x）=log₄（-x²+2x+3）的單調增區間為（-1，1），單調減區間為（1，3）
（2）設存在實數a，使f（x）的最小值為0，
由于底數為4＞1，可得真數t=ax²+2x+3≥1恒成立，
且真數t的最小值恰好是1，
即a為正數，且當x=-

2

2a

=-

1

a

時，t值為1．
∴

a＞0 a( - 1 a )2+2(- 1 a )+3 =1

⇒

a＞0 - 1 a +2 =0

⇒a=

1

2

因此存在實數a=

1

2

，使f（x）的最小值為0．

點評：本題借助于一個對數型函數，求單調性與最值的問題，著重考查了函數的單調性與值域和二次函數的圖象與性質等知識點，屬于中檔題．