Question

已知各項均為正數的數列{a_n}前n項和為S_n，(p－1)S_n＝p²－a_n，n∈N^*，p＞0且p≠1，數列{b_n}滿足b_n＝2log_pa_n．

(Ⅰ)若p＝，設數列{}的前n項和為T_n，求證：0＜T_n≤4；

(Ⅱ)是否存在自然數M，使得當n＞M時，a_n＞1恒成立？若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：由(p－1)Sn＝p2－an(n∈N*)① 　　由(p－1)Sn－1＝p2－an－1② 　　①－②得(n≥2) 　　∵an＞0(n∈N*) 　　又(p－1)S1＝p2－a1，∴a1＝p 　　{an}是以p為首項，為公比的等比數列 　　an＝p 　　bn＝2logpan＝2logpp2－n 　　∴bn＝4－2n　4分 　　證明：由條件p＝得an＝2n－2 　　∴Tn＝① 　　② 　　①－②得 　　 　　＝4－2× 　　＝4－2× 　　∴Tn＝　8分 　　Tn－Tn－1＝ 　　當n＞2時，Tn－Tn－1＜0 　　所以，當n＞2時，0＜Tn≤T3＝3 　　又T1＝T2＝4，∴0＜Tn≤4．　10分 　　(Ⅱ)解：若要使an＞1恒成立，則需分p＞1和0＜p＜1兩種情況討論 　　當p＞1時，2－n＞0，n＜2 　　當0＜p＜1時，2－n＜0，n＞2 　　∴當0＜p＜1時，存在M＝2 　　當n＞M時，an＞1恒成立．　14分