Question

已知向量

a

=（sinθ，1），

b

=（1，cosθ），-

π

2

＜θ＜

π

2

．
（Ⅰ）若

a

⊥

b

，求θ；
（Ⅱ）求|

a

+

b

|的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據兩個向量垂直的性質可得 sinθ+cosθ=0，由此解得tanθ的值，從而得出θ．
（II）利用向量的模的定義化簡|

a

+

b

|，再根據三角函數的變換公式結合三角函數的性質求出|

a

+

b

|的最大值．

解答：解：（I）.

a

⊥

b

，⇒

a

•

b

=0⇒sinθ+cosθ=0⇒θ=-

π

4

----------（5分）
(2).|

a

+

b

|=|(sinθ+1，cosθ+1)|=

(sinθ+1)2+(cosθ+1)2

=

sin2θ+2sinθ+1+cos2θ+2cosθ+1

=

2(sinθ+cosθ)+3

=

2 2 sin(θ+ π 4 )+3

當sin(θ+

π

4

)=1時|

a

+

b

|有最大值，此時θ=

π

4

，最大值為

2 2 +3

=

2

+1----------（12分）．

點評：本題主要考查兩個向量垂直的性質，同角三角函數的基本關系，向量的模的定義，以及三角公式的應用．屬于基礎題．