Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，M為線段PD的中點．
（I）求證：BM⊥PD
（II）求直線CM與PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）連接BD，計算PB=BD=

5

，利用M為線段PD的中點，可得結論；
（II）連接AC，與BD交于O，連接OM，證明∠MOC（或其補角）為直線CM與PB所成角，利用余弦定理，可求直線CM與PB所成角的余弦值．

解答：（I）證明：連接BD，
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，
∴PB=BD=

5

∵M為線段PD的中點，
∴BM⊥PD
（II）解：連接AC，與BD交于O，連接OM，則
∵M為線段PD的中點，
∴MO∥PB
∴∠MOC（或其補角）為直線CM與PB所成角，
在△MOC中，MO=CO=

5

2

，CM=

1+ 5 4

=

3

2

∴cos∠MOC=

5 4 + 5 4 - 9 4

2• 5 2 • 5 2

=

1

10

∴直線CM與PB所成角的余弦值為

1

10

．

點評：本題考查線線垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．