Question

22. 已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x＝－1相切，點C在l上.

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；

（Ⅱ）設過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點.

（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，請說明理由；

（ii）當△ABC為鈍角三角形時，求點C的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

22.

（Ⅰ）解法一：依題意,曲線M是以點P為焦點,直線l為準線的拋物線,所以曲線M的方程為y²＝4x.

解法二：設M（x,y）,依題意有|MP|＝|MN|,

所以|x+1|＝,化簡得：y²＝4x.

 

（Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為y＝－（x－1）,由

消y得3x²－10x+3＝0,解得x₁＝,x₂＝3.

所以A點坐標為（,）,B點坐標為（3,－2）,

|AB|＝x₁+x₂+2＝.

假設存在點C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|＝|AB|，且|AC|＝|AB|，即

由①－②得4²+（y+2）²＝（）²+（y－）²,

解得y＝－.

 

但y＝－不符合①，

所以由①②組成的方程組無解.

因此，直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形.

 

（ii）解法一：設C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，由得y＝2,

即當點C的坐標為（－1，2）時，A、B、C三點共線，故y≠2.

 

又|AC|²＝（－1－）²+（y－＝

 

|BC|²＝（3+1）²+（y+2）²＝28+4y+y²,

 

|AB|²＝（）²＝.

 

當∠CAB為鈍角時：cosA＝<0

 

即|BC|²＞|AC|²+|AB|²,即28+4y+y²＞y+y²+,即y＞時，∠CAB為鈍角.

 

當|AC|²＞|BC|²+|AB|²,即y+y²＞28+4y+y²+,即y＜－時，∠CBA為鈍角.

 

又|AB|²＞|AC|²+|BC|²,即+y²+28+4y+y²,

 

即y²+y+＜0,（y+）²＜0.

 

該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角.

因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是y＜－或y＞（y≠2）.

 

解法二：以AB為直徑的圓的方程為（x－）²+（y+）²＝（）².圓心（）到

 

直線l：x＝－1的距離為,所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點G（－1，－）.

 

當直線l上的C點與G重合時，∠ACB為直角，當C與G點不重合，且A、B、C三點不共線時，∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角.

因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角.

過點A且與AB垂直的直線方程為y－.

令x＝－1得y＝.

過點B且與AB垂直的直線方程為y+2＝（x－3）.

令x＝－1得y＝－.

又由

所以，當點C的坐標為（－1，2）時，A、B、C三點共線，不構成三角形.

因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是y＜－或y＞（y≠2）.