Question

已知向已知角A、B、C為△ABC的內角，其對邊分別為a、b、c，若向量

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

，△ABC的面積S=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：根據平面向量數量積的運算法則化簡

m

•

n

=

1

2

，然后利用同角三角函數間的基本關系得到cos

A

2

的值，根據A的范圍得到

A

2

的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數，利用三角形的面積公式表示出三角形的面積，讓其等于

3

，即可求出ab的值，然后利用余弦定理表示出一個關系式，把ab的值代入即可求出b+c的值．

解答：解：∵

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且

m

• 

n

=

1

2

，
-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，即cos

A

2

=

1

2

，
又0＜A＜π，所以0＜

A

2

＜

π

2

，則

A

2

=

π

3

，
∴A=

2π

3

，
∵S=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

2π

3

=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=12，
∴（b+c）²=16，故b+c=4．

點評：此題考查學生靈活運用余弦定理及平面向量的數量積運算法則化簡求值，是一道綜合題．