Question

袋中裝有若干個質地均勻大小相同的紅球和白球，白球數量是紅球數量的兩倍．每次從袋中摸出一個球，然后放回．若累計3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續摸球直至第5次摸球后結束．
（Ⅰ）求摸球3次就停止的事件發生的概率；
（Ⅱ）記摸到紅球的次數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及其期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 摸球3次就停止，說明前3次分別都摸到了紅球，則所求事件的概率為 P=(

1

3

)3．
（Ⅱ） ξ 可能的取值為0，1，2，3，求出隨機變量ξ取每個值的概率，即得分布列，從而求得期望．

解答：解：（Ⅰ）依題意，摸球1次，是紅球的概率為

1

3

，是白球的概率為

2

3

． 
摸球3次就停止，說明前3次分別都摸到了紅球，則所求事件的概率為 P=(

1

3

)3=

1

27

．    
（Ⅱ） ξ 可能的取值為0，1，2，3．則  P（ξ=0 ）=

C

0 5

(

2

3

)5=

32

243

，P（ ξ=1）=

C

1 5

1

3

(

2

3

)4=

80

243

，
P（ξ=2）=

C

2  5

 (

1

3

)2(

2

3

)3=

80

243

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

3

)3+

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

+

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2•

1

3

=

17

81

． 
∴隨機變量ξ的分布列是
ξ的數學期望為 E_ξ=0×

32

243

+1×

80

243

+2×

80

243

+3×

17

81

=

131

81

．

點評：本題考查獨立事件的概率，離散型隨機變量的分布列，求出隨機變量ξ取每個值的概率是解題的難點．