Question

已知函數f(x)=

x2+1

ax+b

是奇函數且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定義判斷f（x）在（-∞，-1）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=

x2+1

ax+b

是奇函數得f（-x）=-f（x）即

x2+1

-ax+b

=-

x2+1

ax+b

恒成立，化簡得b=0，再由f（1）=2，可求得a值．
（2）由（1）得f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，設x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意兩實數，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），將差化簡為幾個因子的乘積，再判斷差的符號，用定義判斷出結論．注意用定義法證明時的步驟．

解答：解：（1）因為f（-x）=-f（x）即

x2+1

-ax+b

=-

x2+1

ax+b

所以-ax+b=-ax-b∴b=0，又f（1）=2，所以

2

a+b

=2，∴a=1
（2）由（1）得f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

設x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意兩實數，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，因為x₁＜x₂＜-1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-∞，-1）上是增函數．

點評：本題考點是函數的性質，主要考查函數奇偶性與單調性，是函數性質中的一道常規題型，是近幾年高中教學中考查函數性質時常用的模式．