Question

已知點A（1，0），定直線l：x=-1，B為l上的一個動點，過B作直線m⊥l，連接AB，作線段AB的垂直平分線n，交直線m于點M．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過點N（4，0）作直線h與點M的軌跡C相交于不同的兩點P，Q，求證OP⊥OQ（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（1）利用|MA|=|MB|，根據拋物線的定義可知M的軌跡為以A為焦點，l為準線的拋物線．進而求得拋物線的方程．
（2）當x⊥x時，把直線h與拋物線的方程聯立求得y，P，Q坐標可得，進而求得K_OP=1，K_OQ=-1推斷出OP⊥OQ；當h與x軸不垂直時，設出直線l的方程，與拋物線的方程聯立消去y，利用韋達定理表示出x₁?x₂，則y₁?y₂的值可得，進而求得

OA

•

OB

推斷出OP⊥OQ．

解答：解：（1）由已知|MA|=|MB|
∴M的軌跡為以A為焦點，l為準線的拋物線．
∴M的軌跡方程為y²=4x．
（2）當h⊥x時，h：x=4由

x=4 y2=4x

得y=±4
此時，P（4，4），Q（4，-4）
K_OP=1，K_OQ=-1∴OP⊥OQ
當h與x軸不垂直時，設l：y=k（x-4）
由

y=k(x-4) y2=4x

得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0
x₁?x₂=16，y1?y2=-

x 1 1 ? x 2 2

=-16
∴

OA

•

OB

=x₁?x₂+y₁?y₂=0
∴OP⊥OQ

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系，拋物線的定義．判斷直線垂直的方法一般是利用斜率之積為-1或向量之積為0的方法．