Question

已知函數f(x)=lg

1+x

1-x

．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）求證：f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)；
（3）已知a，b∈（-1，1），且f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0可得函數的定義域（-1，1），關于原點對稱，再由f(-x)=lg

1-x

1+x

=-lg

1+x

1-x

=-f(x)可判斷函數奇偶性
（2）分別計算 f（a）+f（b）與f(

a+b

1+ab

)可證
（3）由（2）f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)可得f（a）+f（b）=1 f(a)+f(-b)=f(

a-b

1-ab

)，f（a）+f（b）=2結合奇函數的性質可得f（-b）=-f（b），從而可求

解答：解：（1）由

1+x

1-x

＞0可得函數的定義域（-1，1），關于原點對稱
∵f(-x)=lg

1-x

1+x

=-lg

1+x

1-x

=-f(x)故函數f（x）為奇函數
（2）∵f（a）+f（b）=lg

1+a

1-a

+lg

1+b

1-b

=lg

1+a+b+ab

1-a-b+ab

   
f(

a+b

1+ab

)=lg

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

=lg

1+a+b+ab

1-a-b+ab

                 
∴f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)
（3）∵f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)=1
∴f（a）+f（b）=1 f(a)+f(-b)=f(

a-b

1-ab

)=2
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，解得：f(a)=

3

2

，f(b)=-

1

2

點評：本題主要考查了對數函數的定義域的求解，函數的奇歐性的判斷及利用對數的基本運算性質證明等式，屬于對數知識的綜合應用．