Question

【題目】設各項均為正數的數列{an}和{bn}滿足：對任意n∈N* ， an ， bn ， an+1成等差數列，bn ， an+1 ， bn+1成等比數列，且a1=1，b1=2，a2=3．
（Ⅰ）證明數列{ }是等差數列；
（Ⅱ）求數列{ }前n項的和．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵對任意n∈N* ， an ， bn ， an+1成等差數列，bn ， an+1 ， bn+1成等比數列， ∴2bn=an+an+1 ， =bnbn+1 ， an＞0，
∴an+1= ，
∴2bn= + ，
∴ = + ．
∴數列{ }是等差數列．
（II）解：a1=1，b1=2，a2=3．由（I）可得：32=2b2 ， 解得：b2= ．
∴公差d= = = ．
= + （n﹣1）= × ．
∴bn= ．
∴ =bnbn+1= ，an+1＞0．
∴an+1= ，
∴n≥2時，an= ．n=1時也成立．
∴an= ．n∈N* ．
∴ = ．
∴數列{ }前n項的和= =2 =
【解析】（I）對任意n∈N* ， an ， bn ， an+1成等差數列，bn ， an+1 ， bn+1成等比數列，可得2bn=an+an+1 ， =bnbn+1 ， an＞0，an+1= ，代入即可證明．（II）a1=1，b1=2，a2=3．由（I）可得：32=2b2 ， 解得：b2 ． 公差= ．可得 = × ．bn代入 =bnbn+1 ， an+1＞0．可得an+1= ，可得 = ．即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．