Question

已知函數f（x）=ln（x+1），，設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）當x＞0時，比較f（x）和h（x）的大小；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）令2，數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：當n∈N*且n≥2時，T_2n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）構造函數，求導，求函數的單調性和最值；（2）根據S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹及，可求得數列{a_n}的通項公式；
（3）把（2）求得的結果代入，求得，∴進行變形，利用（1）的結論即可證明不等式．
解答：解（1）令，則，
∴g（x）在（0，+∞）時單調遞增，g（x）＞g（0）=0，即當x＞0時，
即當x＞0時，f（x）＞h（x），
（2）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是，所以數列是公差為1的等差數列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以，故a_n=（n+1）•2ⁿ．
（3）因為，
則當n≥2時，==．
下面證
由（1）知當x＞0時，
令，，，
，，
以上n個式相加，即有
∴．
點評：此題是個難題．考查根據數列的遞推公式利用構造法求數列的通項公式，及數列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（3）的設置，數列與不等式恒成立問題結合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現了轉化的思想和分類討論的思想．