Question

（幾何證明選講選做題）如圖所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3．過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D，E，則∠DAC=    ，線段AE的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：利用直徑所對的圓周角是直角、弦切角定理、切割線定理、含有30°角的直角三角形的性質及勾股定理即可得出．
解答：解：①∵∠ACB是直徑AB所對的圓周角，∴∠ACB=90°；
∵AB=6，BC=3，∴，
∵∠ABC是銳角，∴∠ABC=60°．
由弦切角定理可得∠ACD=∠ABC=60°，
∵在Rt△ACD中，∴∠DAC=30°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得=．
在Rt△ACD中，DC=ACcos60°=，由勾股定理得=，
由切割線定理得DC²=DE•DA，
∴=，∴AE=AD-DE==3．
故答案為30°，3．
點評：熟練掌握直徑所對的圓周角是直角、弦切角定理、切割線定理、含有30°角的直角三角形的性質及勾股定理是解題的關鍵．