Question

已知f（x，y）=（ax+by+1）ⁿ（常數a，b∈Z，n∈N^*且n≥2）
（1）若a=-2，b=0，n=2010，記f(x，y)=a0+

2010

i=1

aixi求：①

2010

i=1

ai；②

2010

i=1

iai
（2）若f（x，y）展開式中不含x的項的系數的絕對值之和為729，不含y項的系數的絕對值之和為64，求n的所有可能值．

Answer 1

分析：（1）①即為二項展開式中，含x項的各項系數之和，令x=0，得a₀=1，令x=1，得出a₀+

2010

i=1

ai=1即可求出結果．②二項展開式兩邊同時對x求導，再令x=1．
（2）令a=0得（|b|+1）ⁿ=729，令b=0得（|a|+1）ⁿ=64，結合正整數指數冪的運算，驗證出n的數值．

解答：解：（1）由已知，令x=0，得a₀=1，l令x=1，得a₀+

2010

i=1

ai=（-2+1）²⁰¹⁰=1，①

2010

i=1

ai=0
②f（x，y）=（-2x+1）²⁰¹⁰=(2x-1)2010=a0+

2010

i=1

aixi兩邊同時對x求導，得2010（2x-1）²⁰⁰⁹×2=

2010

i=1

iaixi-1，再令x=1得

2010

i=1

iai=4020
（2）令a=0得（by+1）ⁿ，則（|b|+1）ⁿ=729
令b=0，（ax+1）ⁿ，則（|a|+1）ⁿ=64
因為64所有的底數與指數均為正整數的指數式拆分為：8²，4³，2⁶
所以當n=2時，|a|=7，|b|=26；當n=3時，|a|=3，|b|=8；當n=6時，|a|=1，|b|=2
故n的所有的可能值為2，3，6

點評：本題考查二項式定理的應用：求展開式中相關系數的和．解決的一般思路是由特殊到一般，對字母靈活賦值，達到消元、構造的目的．