Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAC與底面ABC垂直，E，O分別是SC、AC的中點，SA=SC=，BC=AC，∠ASC=∠ACB=90°．
（1）求證：OE∥平面SAB；
（2）若點F在線段BC上，問：無論F在BC的何處，是否都有OE⊥SF？請證明你的結論；
（3）求二面角B-AS-C的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據E，O分別是SC、AC的中點，結合三角形中位線定理，及線面平行的判定定理，可得OE∥平面SAB；
（2）由平面SAC⊥平面ABC，結合面面垂直的性質定理可得BC⊥平面ASC，可得BC⊥OE結合OE⊥SC及線面垂直的判定定理可得：OE⊥平面BSC，再由線面垂直的性質可得無論F在BC的何處，都有OE⊥SF
（3）由（2）中BC⊥平面ASC，可得AS⊥平面BCS，進而AS⊥SB，即∠BSC是二面角B-AS-C的平面角，解Rt△BCS可得二面角B-AS-C的平面角的余弦值．
解答：證明：（1）∵E，O分別是SC，AC的中點
∴OE∥SA
又∵OE?平面SAB，SA?平面SAB，
∴OE∥平面SAB                  …（3分）
（2）在△SAB中，
∵OE∥AS，∠ASC=90°
∴OE⊥SC
∵平面SAC⊥平面ABC，∠BCA=90°
∴BC⊥平面ASC，OE?平面ASC
∴BC⊥OE
∴OE⊥平面BSC
∵SF?平面BSC
∴OE⊥SF
所以無論F在BC的何處，都有OE⊥SF         …（8分）
解：（3）由（2）BC⊥平面ASC
∴BC⊥AS
又∵∠ASC=90°
∴AS⊥SC
∴AS⊥平面BCS
∴AS⊥SB
∴∠BSC是二面角B-AS-C的平面角
在Rt△BCS中，cos∠BSC=
所以二面角B-AS-C的平面角的余弦值為       …（14分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，其中（1）（2）的關鍵是熟練掌握空間線面垂直的判定定理，性質定理及幾何特征；（3）的關鍵是構造出二面角的平面角．