Question

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為 .

（1）求橢圓的方程;

（2）若上存在兩點(diǎn)，橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足：三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且，求四邊形的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

分析：（1）由題意可知及，即可求得和的值，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）討論直線的斜率不存在，求得弦長(zhǎng)，求得四邊形的面積；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及四邊形的面積公式，計(jì)算即可求得最小值.

詳解：（1）∵過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，∴，

∵離心率為，∴，又，解得，，，

∴橢圓的方程為

（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為，

此時(shí)，，

（ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，

得，

設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，

則，∴，

由可得直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，消去，

得

設(shè)的橫坐標(biāo)為，則

∴

，令，

則 ，

綜上