Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為PA的中點，F為BC的中點，底面ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O．求證：
（1）平面EFO∥平面PCD；
（2）平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析：（1）由題意知，EO∥PC，由線面平行的判定定理得到EO∥平面PCD，同理可證，FO∥平面PCD，再由面面平行的判定定理，即得證平面EFO∥平面PCD．
（2）由于PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，再由已知得到BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，即得證平面PAC⊥平面PBD．

解答：解：（1）因為E為PA的中點，O為AC的中點，所以EO∥PC
又EO?平面PCD，PC?平面PCD，所以EO∥平面PCD
同理可證，FO∥平面PCD，又EO∩FO=O
所以，平面EFO∥平面PCD．
（2）因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD
因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
又BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．

點評：本小題主要考查空間線面關系，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力．