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如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面PAD⊥平面ABCD,F(xiàn)為PD的中點.
(Ⅰ)求證:AF⊥平面PCD;
(Ⅱ)求直線PB與平面ABF所成角的正切值.

【答案】分析:(Ⅰ)證明AF⊥平面PCD,利用線面垂直的判定定理,只需證明AF⊥PD,CD⊥AF即可;
(Ⅱ)證明∠PBF為直線PB與平面ABF所成的角,求出PF,BF的長,即可得出結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:如圖右,因為△PAD是正三角形,F(xiàn)為PD中點,所以AF⊥PD,
因為底面ABCD為正方形,所以CD⊥AD
又因為平面PAD⊥平面ABCD,且AD=面PAD∩面ABCD;
所以CD⊥平面PAD,而AF?平面PAD,
所以CD⊥AF,且CD∩PD=D,
所以AF⊥平面PCD.…(6分);
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)證明可知,CD⊥平面PAD,所以AB⊥平面PAD
因為PD?平面PAD,所以AB⊥PD,
又由(Ⅰ)知AF⊥PD,且AF∩AB=A,所以PD⊥平面ABF,即∠PBF為直線PB與平面ABF所成的角…(9分)
∵AB=2,,∴Rt△BAF中,,
所以,即求.…(12分)
〖注〗若用等體積法,參照標準同樣分步計分.
點評:本題考查線面垂直,考查線面角,解題的關(guān)鍵是正確運用線面垂直的判定,作出線面角,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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同步練習冊答案
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