Question

過點M（1，2）的直線l與圓C：（x-2）²+y²=9交于A、B兩點，C為圓心，當∠ACB最小時，直線l的方程為（　　）

A．x=1

B．y=1

C．x-y+1=0

D．x-2y+3=0

Answer 1

分析：經驗證可知，點M在圓的內部，要使過點M的直線交圓后所得的圓心角最小，則直線交圓所得的劣弧最短，也就是弦長最短，此時直線與過圓心及M點的連線垂直，根據斜率之積等于-1求出直線的斜率，由點斜式可得所求的直線方程．

解答：解：如圖，
把點M（1，2）代入圓的方程左邊得：（1-2）²+2²=5＜9，
所以點M（1，2）在圓的內部，要使過M的直線交圓后得到的∠ACB最小，
也就是過M的直線交圓所截得的弦長最短，
即當CM⊥l時弦長最短，∠ACB最小，
設此時直線l的斜率為k，
∵kCM=

2-0

1-2

=-2，
由k•k_CM=-1，得：-2k=-1，所以，k=

1

2

．
∴l的方程為：y-2=

1

2

(x-1)，即x-2y+3=0．

點評：本題考查了圓的標準方程，考查了直線和圓的位置關系，過⊙C內一點M作直線l與⊙C交于A、B兩點，則弦AB的長最短?弦AB對的劣弧最短?弦對的圓心角最小?圓心到直線l的距離最大?CM⊥l?弦AB的中點為M，此題是中檔題．