Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）當時，對任意的，都有成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）具體見解析；（2）

【解析】

（1）先求出函數的導函數，然后通過分類討論解不等式即可求解；

（2）可轉化為當時，函數的最小值大于的最大值問題進行處理．

解：（1）由題意知，函數的定義域為，

則

①當時，，令，解得．

當時，，當時，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增．

②當時，令，解得．

當時，，則或時，，時，，

∴在和上單調遞減，在上單調遞增．

當時，，∴在上單調遞減．

當時，，則或時，時，，

∴在和上單調遞減，在上單調遞增．

綜上，當時，在和上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減；

當時，在和上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）對任意的，都有成立，

等價于時，．

由（1）得，當時，在上單調遞增，

∴在上的最小值．

∵，

∴，

令，

則，

∴當時，單調遞減，

∴當時，，

∴當時，單調遞增，

則．

∴，

∴，

∴．

故的取值范圍為．