Question

函數f（x）=x²+bln（x+1）﹣2x，b∈R
（I）當 時，求函數f（x）的極值；
（II）設g（x）=f（x）+2x，若b≥2，求證：對任意x₁，x₂∈（﹣1，+∞），且x₁≥x₂，都有g（x₁）﹣g（x₂）≥2（x₁﹣x₂）．

Answer 1

解：（1）當時，函數解析式為，定義域為（﹣1，+∞）
∴對函數求導數，得，
令，解得或
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

（2）因為f（x）=x²+bln（x+1）﹣2x，
所以 ，其中x∈（﹣1，+∞）
因為b≥2，所以f'（x）≥0（當且僅當b=2，x=0時等號成立），
所以f（x）在區間（﹣1，+∞）上是增函數，
從而對任意x₁，x₂∈（﹣1，+∞），
當x₁≥x₂時，f（x₁）≥f（x₂），
又∵g（x）=f（x）+2x，
∴g（x₁）=f（x₁）+2x₁，g（x₂）=f（x₂）+2x₂
即g（x₁）+2x₁≥g（x₂）+2x₂，整理得g（x₁）﹣g（x₂）≥2（x₁﹣x₂）
所以對任意x₁，x₂∈（﹣1，+∞），且x₁≥x₂，
都有g（x₁）﹣g（x₂）≥2（x₁﹣x₂）．