Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓：過點，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，設直線與圓相切與點，與橢圓相切于點，當為何值時，線段長度最大？并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，最大值為1.

【解析】

(1)利用基本量的關系列式求解即可.

(2) 設直線的方程為,根據直線與圓相切可得,再聯立直線與橢圓的方程,利用相切則所得的二次方程判別式為0可得,再聯立可得.再根據點的坐標結合距離公式以及,在根據基本不等式求解最大值即可.

解：（1）由題,,

故,解得.

故橢圓方程為.

（2）連接OA,OB，如圖所示：

設直線的方程為,

因為直線與圓：相切于,

所以,即①,

因為與橢圓：相切于點,

由得,

即有兩個相等的實數解,

則,

即,②

由①、②可得,

設,由求根公式得,

∴,

∴,

∴在直角三角形中,

,

因為,當且僅當時取等號,

所以,

即當時,取得最大值,最大值為1.