Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即求函數(shù)f（x）的f′（x），在根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解即可
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，只需f′（x）=0在（-1，1）上沒(méi)有實(shí)根即可
（Ⅲ）要求對(duì)任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)f（x）_max≤1，即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a²在a∈[3，6]的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²+2ax-a²=3(x-

a

3

)(x+a)
當(dāng)a=0時(shí)f′（x）≥0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）
當(dāng)a＞0時(shí)
由f′（x）＞0得x＜-a或x＞

a

3

，
由f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a），(

a

3

，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間為(-a，

a

3

)
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)由（1）知函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
則f（x）在[-1，1]上沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)
由（1）知f（x）在(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)上單調(diào)遞增，
在(-a，

a

3

)上單調(diào)遞減；則要f（x）在[-1，1]上沒(méi)有極值點(diǎn)，
則只需f′（x）=0在（-1，1）上沒(méi)有實(shí)根．∴

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

，解得a≥3
綜上述可知：a的取值范圍為[3，+∞）∪{0}
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴

a

3

∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的單調(diào)性質(zhì)知f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a²的最小值為-87
∴m≤-87
故答案為（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)f′（x）≥0，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間為(-a，

a

3

)，
（Ⅱ）a的取值范圍為：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范圍為：m≤-87．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，還考查了變量分離的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．