Question

已知函數.

（1）若曲線經過點，曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；

（2）在（1）的條件下，試求函數（為實常數，）的極大值與極小值之差；

（3）若在區間內存在兩個不同的極值點，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當或時，；

當時，；

（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用導數的幾何意義，明確曲線在點處的切線的斜率為,建立方程

，再根據曲線經過點，得到方程，解方程組即得所求.

（2）利用“表解法”，確定函數的極值，注意討論或及，的不同情況；

（3）根據在區間內存在兩個極值點，得到，

即在內有兩個不等的實根．

利用二次函數的圖象和性質建立不等式組 求的范圍.

試題解析：（1），

直線的斜率為，曲線在點處的切線的斜率為,

①

曲線經過點， ②

由①②得： 3分

（2）由（1）知：，，, 由，或.

當，即或時，，，變化如下表

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

由表可知：

5分

當即時，，，變化如下表

	-	0	+	0	-
		極小值		極大值

由表可知：

7分

綜上可知：當或時，；

當時， 8分

（3）因為在區間內存在兩個極值點 ，所以，

即在內有兩個不等的實根．

∴ 10分

由 （1）+（3）得：， 11分

由（4）得：，由（3）得：，

，∴．

故 13分

考點：導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、極值，二次函數的圖象和性質，不等式組的解法.