Question

給定以下命題：
（1）函數y=x+cosx在區間(-

π

2

，

π

2

)上有唯一的零點；
（2）向量

a

與向量

b

共線，則向量

a

與向量

b

方向相同或是方向相反；
（3）若角α=β，則一定有tanα=tanβ；
（4）若?x₀∈R，使f′（x₀）=0，則函數f（x）在x=x₀處取得極大或是極小值．
則上述命題中，假命題的個數為（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：（1）對函數進行求導，研究函數的單調性，從而可判斷函數y=x+cosx在區間(-

π

2

，

π

2

)上有唯一的零點；
（2）當兩個向量中有零向量時，結論不正確；（3）若角α=β=

π

2

，則tanα=tanβ不成立；
（4）f′（x₀）=0，函數f（x）在x=x₀的左右附近，導數符號不改變時，結論不成立．

解答：解：（1）求導函數y′=1-sinx．∵x∈(-

π

2

，

π

2

)，∴y′＞0，∴函數y=x+cosx在區間(-

π

2

，

π

2

)上單調增
．∵x∈(-

π

2

，

π

2

)，∴y∈(-

π

2

，

π

2

)，∴函數y=x+cosx在區間(-

π

2

，

π

2

)上有唯一的零點，故（1）是真命題；
（2）中未注意零向量，當兩個向量中有零向量時，結論不正確，所以（2）為假命題，
（3）若角α=β=

π

2

，則tanα=tanβ不成立，故（3）為假命題；
（4）f′（x₀）=0，函數f（x）在x=x₀的左右附近，導數符號改變時，函數f（x）在x=x₀處取得極大或是極小值，否則不成立，故（4）為假命題．
綜上知，（2）（3）（4）為假命題
故選B．

點評：本題主要考查函數的零點，函數的極值，考查向量知識，考查三角函數，注意結論成立的條件是關鍵．