Question

17．已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+3（n≥2，n∈N^*），數列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{a_na_{n+1}}$，n∈N^*，則$\underset{lim}{n→∞}$（b₁+b₂+…+b_n）$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出a_n=3n-2，從而b_n=$\frac{1}{a_na_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），由此有求出$\underset{lim}{n→∞}$（b₁+b₂+…+b_n）的值．

解答 解：∵數列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+3（n≥2，n∈N^*），
∴數列{a_n}是首項a₁=1，公差d=a_n-a_n-1=3的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2，
∴b_n=$\frac{1}{a_na_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{n}{3n+1}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$（b₁+b₂+…+b_n）=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{3n+1}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查數列的前n項和的極限值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．