Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AA₁=2

2

，∠ACB=90°，M是AA₁ 的中點，N是BC₁的中點 
（1）求證：MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）求點C₁到平面BMC的距離；
（3）求二面角B-C₁M-A₁的平面角的余弦值大小．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱的幾何特征，取B₁C₁中點D，連接ND、A₁D，易得四邊形A₁MND為平行四邊形，然后由線面平行的判定定理得到MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）可證BC⊥平面A₁MC₁，在平面ACC₁A₁中，過C₁作C₁H⊥CM，又BC⊥C₁H，所以C₁H為點C₁到平面BMC的距離，在等腰三角形CMC₁中，可求C₁H的長．
（3）在平面ACC₁A₁上作CE⊥C₁M交C₁M于點E，A₁C₁于點F，則CE為BE在平面ACC₁A₁上的射影，可得BEF為二面角B-C₁M-A的平面角，在等腰三角形CMC₁中，可求∠BEC，即可求得∠BEF，從而可求二面角B-C₁M-A₁的平面角的余弦值．

解答：（1）證明：如圖所示，取B₁C₁中點D，連接ND、A₁D，則DN∥BB₁∥AA₁
又DN=

1

2

BB₁=

1

2

AA₁=A₁M，∴四邊形A₁MND為平行四邊形．
∴MN∥A₁D  
又 MN?平面A₁B₁C₁，AD₁?平面A₁B₁C₁
∴MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥平面A₁MC₁，
在平面ACC₁A₁中，過C₁作C₁H⊥CM，又BC⊥C₁H，所以C₁H為點C₁到平面BMC的距離
在等腰三角形CMC₁中，C₁C=2

2

，CM=C₁M=

6

∴C₁H=

CC1•AC

CM

=

4 3

3

．
（3）解：在平面ACC₁A₁上作CE⊥C₁M交C₁M于點E，A₁C₁于點F，則CE為BE在平面ACC₁A₁上的射影，
∴BE⊥C₁M，∴∠BEF為二面角B-C₁M-A的平面角，
在等腰三角形CMC₁中，CE=C₁H=

4 3

3

，
∴tan∠BEC=

BC

CE

=

3

2

∴∠BEC=arctan

3

2

，∴∠BEF=π-arctan

3

2

，
∴cos∠BEF=

2 7

7

即二面角B-C₁M-A₁的平面角的余弦值為

2 7

7

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，點到面的距離，考查面面角，熟練掌握直三棱柱的幾何特征，掌握空間直線與平面之間位置的判定、性質是解答本題的關鍵．