Question

已知AB是拋物線x²＝2py(p＞0)的任一弦，F為拋物線的焦點，l為準線．m為過A點且以為方向向量的直線．

(1)若過點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|＝|CF|；

(2)若(A、B異于原點)，直線OB與m相交于點M，試求點M的軌跡方程；

(3)若AB為焦點弦，分別過A、B點的拋物線的兩條切線相交于點T，求證：AT⊥BT，且T點在l上．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖所示，設，易知點即為切點． 　　∵，∴，于是的方程為：，即：，令，得即由拋物線的定義可知，． 　　又∴．　　4分; 　　(2)設∵·，∴，∴，．直線的方程：　　①　　6分 　　直線m的方程：　　　　　　②，①×②，得，∴ 　　∵，∴，∴點的軌跡方程為．　　8分; 　　(3)設，易知、為切點，則 　　由于是焦點弦，可設的方程為：，代入，得：， 　　∴，∴，∴．　　10分 　　由(1)知，的方程：， 　　∴，即：．又∵過焦點，∴，∴，∴點在準線l上．　　12分