Question

以F₁（0，-1），F₂（0，1）為焦點的橢圓C過點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）橢圓過點P，則由橢圓的定義知2a=|PF₁|+|PF₂|=，由此可求出橢圓C的方程．
（II）解法一：若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1；若直線l垂直于x軸時，則以AB為直徑的圓是
由，由此可求出點T的坐標．
解法二：如果存在定點T（u，v）滿足條件．若直線l垂直于x軸時，則以AB為直徑的圓經過點（1，0）；若直線l不垂直于x軸時，可設直線l：．由，整理得，然后利用根與系數的關系進行求解．
解答：解：（I）設橢圓方程為（a＞b＞0），∵橢圓過點P，則由橢圓的定義知
2a=|PF₁|+|PF₂|=
所以，，b²=a²-c²=1，
橢圓C的方程為．
（II）解法一：
若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1；
若直線l垂直于x軸時，則以AB為直徑的圓是
由解得，所以兩圓相切于點（1，0）．
因此，如果存在點T滿足條件，則該點只能是（1，0）
下面證明T（1，0）就是所求的點．
若直線l垂直于x軸時，
則以AB為直徑的圓經過點（1，0）；
若直線l不垂直于x軸時，可設直線l：
由，整理得
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
又因為，，
則=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
==
=
所以，TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過定點T（1，0），
故平面上存在一個定點T（1，0）滿足題設條件
解法二：（I）由已知c=1，設橢圓方程為．
因為點P在橢圓上，則，解得a²=2，
所以橢圓方程為
（II）如果存在定點T（u，v）滿足條件．
若直線l垂直于x軸時，
則以AB為直徑的圓經過點（1，0）；
若直線l不垂直于x軸時，可設直線l：．
由，整理得
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
∵又因為，，
則=（x₁-u）（x₂-u）+（y₁-v）（y₂-v）
=
=
=
=
當且僅當恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點T（u，v）．恒成立等價于，
解得u=1，v=0
所以當u=1，v=0時，無論直線l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過定點T（1，0）．
故平面上存在一個定點T（1，0）滿足題目條件．
點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關系，解題要注意挖掘隱含條件，合理選用公式．